摘要  相场模型在实际的工程问题的研究中起着至关重要的作用，深受各领域学者的关注。以泊松方程的形式表达的相场模型Allen-Cahn（AC）方程更是被广泛应用于图像处理、晶体生长、随机扰动等问题的研究中。相较于整数阶AC方程，分数阶AC方程更适合应用于实践，尤其是时间分数阶AC方程，克服了时间历程的问题，能够实现长时间规模的现实模拟。目前，已存在较多的关于时间分数阶AC方程的研究，研究者们在时间方向上对AC方程的离散方法较为统一，即有限差分法。

在本文的第一部分对本文的研究背景以及主要研究工作做了简单的介绍。在第二部分，本文回顾了研究所需的预备知识，包括伽马函数、分数阶微积分、有限差分法、范数等基础概念及定理。本文在第三部分使用了一个隐式的有限差分格式来对变阶AC方程进行离散，包含变阶导数的近似、二阶中心差分以及泰勒展开式的应用。另外，还主要根据盖尔定理和矩阵范数的性质在第四部分证明了该格式的无条件稳定性和收敛性。为说明本文所提出的有限差分格式的有效性，第五部分给出了格式相关的一些实际例子。最后，在第六部分给出简要总结。

关键词：Allen-Cahn方程 变阶导数 差分格式 稳定性 收敛性

目录

摘要

Abstract

1绪论-1

1.1 研究背景与意义-1

1.2 国内外研究现状-2

1.3 本文主要工作-2

2预备知识-4

2.1 伽马函数-4

2.2 分数阶微积分-4

2.3 AC方程-6

2.4 有限差分法-6

2.5 范数-8

3变阶AC方程的有限差分格式-10

4数值分析-13

4.1 稳定性分析-13

4.2 收敛性分析-15

5数值算例-18

6总结-22

参考文献-23

附录-25

致谢-27