摘要：本文介绍了分数阶导数的历史渊源，分数阶微分方程的发展情况，分数阶导数的Riemann-Liouvile定义，Caputo定义，也罗列了分数阶微积分简单性质及一些相应的拓展。介绍了Laplace变换及其性质，它们可用于求解线性方程。着重讲解了广义谱方法，介绍了其相关性质和推导证明。其思想是通过一系列变换将分数阶微分方程变为非线性代数方程通过牛顿迭代法求解。通过初值依次代入求出不同时间节点上的值。详细写出了使用广义谱方法的过程，详细给出了相应的思想。对于牛顿迭代法，运用了MATLAB来进行求解，相应的代码也给出。

关键词：分数阶导数，分数阶微分方程，广义谱方法，牛顿法

目录

摘要

Abstact

§1.前言

1.1分数阶导数历史渊源-1

1.2微分方程的研究发展情况-1

§2.分数阶微积分-2

2.1分数阶积分定义-2

2.2分数阶积分简单性质-2

§3.分数阶微分方程-3

3.1 Mittage-Leffler函数-3

3.2  Laplace变换-4

§4.广义谱方法-4

4.1  Chebyshev多项式-4

定义4.1：Chebyshew多项式定义为-4

4.2 配置方法-6

4.3 高斯积分公式-7

定义4.2：积分公式-7

§5 分数阶偏微分方程初边值问题-8

参考文献-15

致谢-16