摘要：极限与导数是数学分析中非常重要的两个基本概念，极限贯穿于微积分学的各个章节，函数的连续、导数、微分、积分等概念都是利用极限来说明的。理解并熟练应用极限的概念及部分求解方法对理工类的大学生是相当重要的。一元函数极限与导数的概念以及求解方法在数学分析与高等数学等教材中已非常系统的进行说明，学生们对其都有较为深刻的理解。多元函数由于变量个数的增加，使其极限与导数的定义比较复杂，学生们不易理解，导致学生对多元函数极限与导数的判定及求解变得相当困难。本论文以二元函数为例对多元函数的重极限、累次极限、一阶导数以及二阶导数进行了详细的介绍。给出了多元函数极限、累次极限的定义，二者之间的联系以及极限的一些性质。总结归纳了多元函数极限存在与不存在的证明方法以及部分求解多元函数极限的方法：重要极限、变量代换、洛必达法则和两边夹定理。介绍了多元函数一阶导数与二阶导数的定义、复合函数偏导数的求法以及偏导数在函数中的一些应用。学习和运用这些方法，可以从整体上更好的理解多元函数的极限与导数。

关键词：多元函数；极限；累次极限；一阶导数；二阶导数

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  多元函数的极限-2

1.1 多元函数的定义-2

1.2 多元函数的极限-2

1.3 多元函数的累次极限-3

1.4 多元函数重极限与累次极限的关系-3

1.5多元函数极限的性质-6

2  多元函数极限存在性-8

2.1 证明多元函数极限存在-8

2.2 多元函数极限的部分求解方法-9

2.3 证明多元函数极限不存在-14

3  多元函数的一阶偏导数-16

3.1 多元函数偏导数的定义-16

3.2 复合函数的偏导数-17

3.3 多元函数偏导数的应用-18

4  多元函数的二阶偏导数-22

4.1 多元函数二阶偏导数-22

4.2 复合函数的二阶偏导数-23

4.3 多元函数二阶偏导数的应用-24

结    论-28

参考文献-29