摘要：微分的一个核心思想就是无穷分割，也是函数改变量的线性主要部分，更是微积分的基本概念之一.一个研究函数的有力工具就是微分中值定理，并且是一些类中值定理的总称，而在微分中值定理中，拉格朗日中值定理是尤其重要的一部分,可以说其他的中值定理都是拉格朗日中值定理的多种推广和几种特殊情况，特别是在一些证明题中，需要构造函数，使我们对它增加了更多的认识.总而言之，微分中值定理反映了函数的整体性和导数的局部性之间的关系，应用颇为广泛，在数学领域中占据着极为重要的地位 .因此，这也成为本文写作研究的出发点之一.

本文主要论述了几种有关微分及微分中值定理的应用.首先，通过可导性的证明及求导运算，阐述了导数和微分的定义等内容，引出四个微分中值定理和导数两大定理，对其进行全面地介绍，并对微分中值定理的几类题型进行深入探讨，如构造辅助函数、多个点的中值问题、中值等式及中值不等式，并具体说明了这类问题的解法.最后通过探讨函数凹凸性及单调性说明了微分中值定理和不等式的证明.

关键词：导数；微分；中值定理；凹凸性；单调性

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1导数与微分-2

1.1可导性证明-2

1.1.1定义法及其应用-2

1.1.2可微性-3

1.2求导数与高阶导数-5

1.3利用直接求导法证明等式成立-8

2微分中值定理-10

2.1四个微分中值定理-10

2.2导数两大定理-12

3各类中值问题-16

3.1构造辅助函数-16

3.2利用中值定理证明等式成立-18

3.3利用中值定理证明不等式成立-20

4凹凸性-22

4.1函数凹凸性-22

4.2利用凹凸性证明不等式-22

5不等式及零点问题-23

5.1利用单调性证明不等式-23

5.2零点问题-24

结    论-26

参考文献