摘要：本文首先针对等距节点的插值型求积公式，讨论在不同阶数下的Newton-Cotes公式，研究重点偏向于误差余项以及稳定性，然后由复化梯形求积公式中关于步长的渐近展开式引出Richard外推，从而实现Romberg积分算法。同时，在机械求积的背景下推出固定节点数下最高代数精度的Gauss型求积公式，但仅仅局限于权函数为1的Gauss-Legendre求积公式及其相关特性。最后，探究数值求积公式在常微分方程初值问题数值解法中的应用，于具体的数值算例中运用高阶Runge-Kutta方法计算出预估范围内的数值解，并在此基础上比较自编程函数与MATLAB函数库中数值求积函数之间的优缺点。

关键词：Romberg积分  Gauss-Legendre  Runge-Kutta方法

目录

摘要

Abstract

第1章 绪论-1

1.1-研究背景及意义-1

1.2-国内外研究现状-1

1.3-主要研究内容-2

第2章 经典数值求积公式的介绍-4

2.1 机械求积-4

2.2  Newton-Cotes求积公式-9

2.3 误差估计-12

2.3.1 代数精度-12

2.3.2 插值型求积公式的余项-14

第3章 龙贝格求积公式的应用-19

3.1 复化梯形二分法-19

3.2  Richard外推法-23

3.3  Romberg求积法-25

3.4 数值算例-26

3.5 本章小结-28

第4章 高斯型求积公式的应用-29

4.1  Gauss型求积公式-29

4.2  Gauss-Legendre积分-30

4.3 数值算例-32

4.4 本章小结-35

第5章 数值求积公式在常微分方程求解中的应用-37

5.1 引言-37

5.2 改进的Euler公式-37

5.3  Runge-Kutta方法-39

5.3 数值算例-40

第6章 总结-45

参考文献-46

附录-48

致谢-55