摘要 不等式的证明在数学分支中具有很大的比重，无论是在初等或者高等数学中。初等数学中用来证明不等式的一般方法有：放缩法、综合法、反证法、分析法、换元法以及几何法等等,证明的方法及步骤都是比较繁琐的,对于一些的不等式来说，都是比较难解决的;这个时候我们可以用微积分理论来证明不等式，就比较简单明了呢,在本篇文章中，我们将会用微积分理论来证明不等式，其方法一般有：利用函数最值、极值以及函数的单调性来证明不等式、利用导数的定义来证明不等式、利用拉格朗日中值定理的相关知识来证明不等式、利用柯西中值定理的相关知识来证明不等式、利用泰勒定理来证明不等式、利用函数的凹凸性来证明不等式、利用函数幂级数展开式证来明不等式以及利用定积分的相关性质证明来不等式等,然后会用一些例题给出如何用这些方法来证明不等式的步骤及用这种方法来证明不等式的适用范围；除了在高等数学中应用微积分理论证明不等式外，在初等数学中也是可以用的，在本文中，我们也给出了一些例题做出了说明。

关键词：微积分理论  不等式证明方法  初等数学  中值定理  函数凹凸性  函数单调性  导数     

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1不等式的研究现状-1

1.2与不等式相关的微积分介绍-2

1.3微积分理论证明不等式的优劣势-2

2 微积分理论证明不等式的方法-3

2.1函数最值、极值以及单调性证明不等式的方法-3

2.2.导数定义法证明不等式-7

2.3拉格朗日中值定理证明不等式-8

2.4.柯西中值定理证明不等式-10

2.5.泰勒公式证明不等式-12

2.6函数凹凸性证明不等式-13

2.7.函数幂级数证明不等式-15

2.8利用定积分相关性质证明不等式-17

3 微积分理论证明不等式在初等数学中的应用-19

3.1初等数学中的微积分理论-19

3.2微积分在初等数学中的应用-19

4 总结-21

参考文献-22