内容摘要：微分中值定理是微积分学中的核心内容之一，在数学分析中具有举足轻重的重要地位，许多理论及应用问题需借助微分中值定理来证明，加之其在实际问题证明中条件、形式灵活多变，很多题目所需证明的结论难以直接由微分中值定理推出，这也使得微分中值定理成为教学中的一个重点和难点。

本文首先在阅读前人文献的基础上，了解微分中值定理的推广切入点；其次对教辅书以及考研真题中有关微分中值定理的题目进行分析，由题目引导进而对教材中值定理的条件进行加强，利用微分中值三大定理证明所使用的证明思想、构造辅助函数的方法以及利用零点存在定理构造辅助区间的技巧，将中值定理的结论推广至无穷区间、高阶导数、双中值点以及多个函数等情形；最后，本文还集成大量的考研所涉及的微分中值定理板块的题目，进行分类汇总，以作为本文微分中值定理的推广及应用的印证。

关键词：微分中值定理；加强条件；构造函数；高阶导数；考研应用 

目录

内容摘要

Abstract

1 引言-1

1.1选题意义与目的-1

1.2 文献综述及研究现状-1

1.3 创新思路-3

2 中值定理的推广及应用-4

2.1 引理及中值定理相关证明-4

2.2 推广的中值定理-5

2.2.1 将减弱为-5

2.2.2 将有限区间推广至无穷区间-6

2.2.3 将有限区间推广至无穷区间-7

2.3 广义中值定理应用-7

2.4 对中值定理的条件加强进行推广及应用-10

2.4.1 -10

2.4.2 添加及在上高阶可导-12

2.4.3 限制在-14

2.4.4 基础上添加限制条件-17

2.4.5 限制条件而推广的中值定理的应用-18

2.5 由一个函数推广至多个函数的中值定理-24

3 拉格朗日中值定理及其推广-28

3.1 拉格朗日中值定理及其证明-28

3.2 拉格朗日中值定理推广及应用-28

3.2.1 在(可导-28

3.2.2 辅助函数不同的拉格朗日中值定理推广及应用-29

3.2.2.1几种常见构造辅助函数的方法-29

3.2.2.2 柯西中值定理构造辅助函数的推广及应用-29

3.2.3  区间上的拉格朗日中值定理推广及应用-32

3.2.4 双中值点的拉格朗日中值定理的推广及应用-37

3.2.5 限制的拉格朗日中值定理推广及应用-39

4 柯西中值定理及其推广-42

4.1 柯西中值定理及其证明-42

4.2 柯西中值定理的推广及应用-42

4.2.1 在可导-42

4.2.2 辅助函数不同的柯西中值定理推广及应用-43

4.2.3 多点型柯西中值定理推广及应用-45

4.2.4 限制的柯西中值定理推广及应用-49

4.2.5 推广至阶的柯西中值定理-50

5 研究过程中存在问题与不足-51

6 总结与展望-52

6.1 总结-52

6.2 展望-52

参 考 文 献-54

 致谢