摘要：自Jensen于1905年提出凸函数的概念以来，凸函数在数学的许多领域中得到了非常广泛的应用和推广，许多国内外学者对凸函数进行了大量深入的研究。而凸函数的定义和性质是在不等式的基础上建立的，因此凸函数是对不等式进行证明的重要工具之一，在研究不等式时发挥重要的作用。  

本文主要通过对已有的国内外相关文献进行整理，给出凸函数的定义、等价定义、几何意义、性质、判定定理、相应的Jensen不等式、Hadamard不等式的证明以及不同类凸函数的应用来对凸函数及其中的两个分支形成较全面的认识，并且以此来运用凸函数的相关知识解决相关的不等式问题。  

本文首先介绍凸函数的定义、几何意义、等价定义、性质、判定定理、以及相应的Jensen不等式，并对部分定理给出了简单详细的证明过程。其次，本文整理给出几何凸函数、凸函数相关定义、判定定理、Jensen不等式、Hadamard不等式以及某些应用，通过对两类函数进行细致全面的整理，使读者对两类函数有更加全面地了解。在介绍两类函数的同时，对不等式的算术平均值、对数平均值、几何平均值等之间的关系进行梳理。  

关键词：凸函数；几何凸函数；几何凸函数；凸函数

目录

摘要

Abstract

第一章 绪论-1

1.1研究意义和历史-1

1.2主要研究内容-1

1.3研究方法-2

第二章 凸函数的定义及其性质-2

2.1凸函数-2

2.1.1凸函数的定义-2

2.1.2凸函数的几何意义-3

2.1.3凸函数的等价定义-3

2.2凸函数的性质-4

2.3凸函数的判定定理-7

第三章 几何凸函数性质及其应用-8

3.1几何凸函数-8

3.1.1几何凸函数的定义-8

3.1.2几何凸函数的判定定理-8

3.1.3 几何凸函数的Jensen型不等式-9

3.1.4 几何凸函数的应用-10

3.2几何 凸函数.-10

3.2.1几何 凸函数的相关定义-10

3.2.2几何 凸函数判定定理-11

3.2.3几何 凸函数Jensen不等式-11

3.2.4几何 凸函数Hadamard不等式-12

3.2.5几何 凸函数的应用-12

第四章 凸函数及其性质应用-13

4.1 凸函数的定义-13

4.2 凸函数的判定定理-13

4.3 凸函数Jensen不等式-15

4.4 凸函数Hadamard不等式-15

4.5 凸函数的应用-16

总   结-19

参考文献-20

致    谢-21