摘要：在过去几十年来, Duffing方程周期解的存在性和渐近稳定性问题吸引了许多数学工作者和物理学者. 有关于这个问题的研究主要涉及到两个方面. 第一个是关于Duffing方程周期解的存在性, 采用了许多分析工具, 如锥上的不动点定理, Leray-Schauder二择一原理, Schauer不动点定理, Mawhin叠合度理论, 上下解方法和拓扑度方法等. 第二个就是关于Duffing方程周期解的稳定性, 这方面的研究相对要来的少一些. 当前采用的经典手段有Moser扭转定理, Birkhoff标准型, 三阶近似方法等.

本文, 采用较弱的周期和反周期特征值条件的条件, 给出了Duffing方程的一些新的结果, 结果是关于周期解的存在性, 唯一性和渐近稳定性. 证明主要基于Lyapunov稳定性理论, Leray-Schauder型存在性定理和一些分析技巧.

本文的结构主要如下. 第一章, 给出有关于Duffing方程方面的引言. 第二章, 给出一些有用的引理和结论. 第三章, 对主要定理给出了证明.

关键词：Dufffing方程; 周期解; 存在性; 稳定性

目录

摘要

Abstact

1引言-1

2基本概念和引理-3

2.1基本概念-3

2.1.1 Hill方程-3

2.1.2旋转数-3

2.1.3 Floquet乘子-3

2.1.4 判别式-4

2.1.5 周期与反周期特征值-4

2.1.6拓扑度的定义-7

2.1.7 孤立零点的指数-8

2.1.8 Leray-Schauder型存在性定理-9

2.2 引理-10

2.3主要定理-11

3 主要定理的证明-13

3.1存在性-13

3.2唯一性-15

3.3渐近稳定性-15

参考文献-17

致谢-18