摘  要

    

不等式在数学的所有领域里都有着极其重要的影响，其中一部分常见的不等式在我们解决生活和学习中遇到的数学问题发挥着积极的作用，有时能帮我们快速简易地看清问题的本质。不等式本身是一种非常重要的推理工具，可以说贯穿了整个学习过程，无论是中学的初等数学还是大学的高等数学我们都可以见到它。不等式的种类有很多，且在初等数学或者更高层析的数学中，不等式还具有不同的形式，相应的应用范围也不一致。

在中学我们能接触到的几个重要不等式，其实它们在数学中的应用很广泛，也可以应用到实际生活中解决一些问题，但是对于某些不等式可能应用起来还有一定难度。因此本文选择了几种常见的不等式加以阐述，总结了基本不等式、算术-几何平均值不等式、排序不等式和柯西不等式这几种常见的不等式，并通过一些例子体现他们在数学中的应用。

目    录

1绪论 3

1.1 引言 3

1.2 不等式问题的背景和历史 3

1.3 不等式问题的研究意义 4

2基本不等式 4

2.1定义 4

2.2证明 4

2.3基本不等式的应用 4

2.4基本不等式的拓展 5

2.4.1算术-几何平均值不等式的定义 5

2.4.2算术-几何平均值不等式的证明 5

2.4.3算术-几何平均值不等式的应用 6

3排序不等式 6

3.1排序不等式的形式 6

3.2 排序不等式的证明 7

3.3 排序不等式的各种应用 8

3.3.1 合理利用排序不等式来解决一些简单的问题 8

3.3.2 利用排序不等式的变形解决问题 9

3.3.3 排序不等式在证明某些不等式的卓越性 10

4柯西不等式 11

4.1 柯西不等式的定义及变化的形式 11

4.2 柯西不等式的证明 12

4.3 柯西不等式的应用 13

4.3.1 推导空间中一点到平面的距离公式 14

4.3.2证明某些不等式 15

4.3.3在求最值问题方面的应用 15

4.3.4在求解特殊方程中的应用 17

5结论 18