摘要：变系数微分方程在各应用学科中起到了至关重要的作用，如物理学，机械工程和凝聚态物理等。变系数微分方程由于其系数的任意性，具有更多的物理背景和实际意义，受到了科学家们的广泛关注。在近期的发展中，关于变系数微分方程对称性的分析和精确解的构造成为科学家们研究的热点课题。

工程中的许多问题可以归结为变系数微分方程，此类方程由于自身的复杂性，求解十分困难。本论文借助符号计算软件Maple精确求解一类变系数微分方程。论文第一章介绍了研究背景及孤子理论的相关知识；第二章主要主要介绍非线性系统、KdV方程、变系数微分方程及其求解方法；最后一章利用楼直接法研究了(1+1)-维变系数KdV型方程，给出了方程的对称变换和精确解，并建立了常系数微分方程与变系数微分方程解之间的关系。

关键字：对称变换； 变系数微分方程； 楼直接法； 精确解

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 孤子理论-1

2 非线性微分方程简介及精确求解-4

2.1 非线性系统-4

2.2 KdV方程-6

2.3  变系数微分方程及其求解方法-7

3 变系数KdV型微分方程的对称变换和精确解-11

3.1 楼直接法-11

3.2 变系数KdV型方程的对称约化和精确解-11

结    论-15

参 考 文 献-16

致    谢-18