摘要:微分中值定理是微分学的主要定理之一,在很多方面都有着重要的应用.对微分中值定理进行深入的研究,可以使我们更好地、更灵活地使用微分中值定理,来解决相关的问题.本文首先介绍了Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的基本历史及发展过程;其次,详细论述了微分中值定理的基本内容,并且依次给出它们的证明方法;然后,在多项式插值理论下,更加简洁明了地表示出了高阶形式的微分中值定理;最后,本文根据所收集到的某些学校的考研真题,深入讨论了微分中值定理的实际应用.

关键词:微分中值定理 证明 辅助函数 应用

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摘要

Abstract

1.微分中值定理的历史演变-1

2.微分中值定理的证明-2

2.1极值-2

2.2Fermat引理-3

2.3Rolle定理-3

2.4Lagrange中值定理-4

2.5Cauchy中值定理-6

3.微分中值定理的推广-7

3.1牛顿插值多项式-7

3.1.1差商的定义-7

3.1.2 Newton插值多项式-8

3.2高阶微分中值定理-8

3.2.1高阶Lagrange中值定理-8

3.2.2高阶Cauchy中值定理-8

4.微分中值定理在考研中的应用-8

4.1证明等式-9

4.1.1需构造辅助函数的问题-9

4.1.2两个中值点的问题-13

4.1.3多个中值点问题-15

4.1.4其他中值等式问题-19

4.2证明不等式-21

4.2.1不等式与零点问题-21

4.2.2其他中值不等式问题-23

参考文献-26

致谢-27