摘要：本文对常用的函数逼近方法进行研究，首先介绍插值、拟合、有理逼近、最佳一致逼近的基本概念和算法，然后使用软件，设计相对应算法的代码程序，并结合文献上的数值案例，验证所设计的程序是否正确，最终可以将离散数据点或复杂函数用误差小的简单函数进行刻画，得到想要进行数据分析自变量与因变量之间的关系；接着对一个确定的函数表达式，先用两个函数逼近方法进行逼近后对比，然后选择误差较小的与另一种逼近的方法再次进行对比，从这四种函数逼近方法选出误差最小的函数逼近方法，分析各种逼近方法的优点与局限性，设计并给出相应的数值算例来展示它们的特点与不同，最后总结归纳某种类型的函数的较好的逼近方法。

关键词：插值 拟合 有理逼近 一致逼近 函数逼

目录

摘要

Abstract

第一章 绪论-1

1.1选题背景-1

1.2研究意义-1

1.3国内外研究现状分析-1

第二章 插值-3

2.1 插值概述-3

2.2 插值的唯一性-3

2.3 拉格朗日(Lagrange)插值多项式-4

2.3.1 拉格朗日插值基函数定义-4

2.3.2 拉格朗日插值多项式-4

2.3.3 误差-6

2.4 牛顿(Newton)插值多项式-7

2.4.1 牛顿插值基函数定义-7

2.4.2 牛顿插值多项式-7

2.4.5 误差-7

2.5 Hermite插值多项式-7

2.5.1 概念的描述-7

2.5.2 Hermite插值基函数定义-8

2.5.3 Hermite插值多项式-8

2.5.4 误差-9

2.5.5 唯一性-9

2.6  三次样条插值-9

2.6.1 概念的描述-9

2.6.2 M关系式构建三次样条插值多项式-9

2.6.3 边界条件[6]-10

2.6.4 误差[8]-11

2.7 插值算法Matlab的实现-11

2.7.1 拉格朗日插值多项式-11

2.7.2 牛顿插值多项式-12

2.7.3 Hermite插值多项式-12

2.7.4 三次样条插值-13

第三章 最小二乘拟合-15

3.1 最小二乘拟合的定义-15

3.2 多项式拟合-15

3.3 多项式拟合的推广——线性最小二乘-15

3.4 拟合算法Matlab实现-16

3.4.1 多项式拟合-16

3.4.2 线性最小二乘拟合-16

3.4.3 非线性最小二乘拟合-17

第四章 有理函数逼近-20

4.1 有理函数逼近的定义-20

4.2 连分式逼近-20

4.2.1 定义与思想-20

4.2.2 连分式算法Matlab实现-21

4.2.2 以泰勒(Taylor)公式为例-21

4.3 Padé逼近-24

4.3.1 定义与思想-24

4.3.2 Padé逼近Matlab实现-24

4.3.3 以、为例-24

第五章 最佳逼近-27

5.1最佳一致逼近的定义-27

5.2 切比雪夫(Chebyshev)逼近-27

5.2.1 第一类切比雪夫多项式-27

5.2.2 递推关系[12]-27

5.2.3 用第一类切比雪夫多项式求得最佳一致逼近多项式-27

5.2.4 最佳一致逼近Matlab实现-28

5.2.5 以为例-28

第六章 几类逼近方法的比较-31

6.1 几类插值算法的特点与比较-31

6.1.1 拉格朗日(Lagrange)插值多项式与牛顿(Newton)插值多项式-31

6.1.2 几种插值的综合比较-34

6.2 插值和拟合的比较-37

6.3 拟合与有理函数的逼近-40

6.4 综合比较-43

第七章 一个应用实例——黄金分割比的逼近值-53

附录-55

附录一：拉格朗日插值多项式——P11-55

附录二：牛顿插值多项式——P12-56

附录三：Hermite插值多项式——P12-57

附录四：线性最小二乘拟合——P16-58

附录五：连分式算法——P21-59

附录六：Padé逼近——P24-60

附录七：最佳一致逼近——P28-61

总结-63

参考文献-64

致谢-65