摘要：矩阵的秩不仅是矩阵的重要数量特征，而且是高等代数的主要研究对象，是数学研究和应用的重要工具，与线性方程、线性空间等密切相关。矩阵秩的不等式是矩阵秩的主要研究内容之一，也是矩阵秩理论的学习重难点。

本文系统总结矩阵秩的性质，列出与选题相关的定义、结论等作为预备知识。通过分析研究已有矩阵秩的不等式（包括等式）及其证明，完善同一不等式的不同证明方法，即对同一不等式从矩阵理论、线性空间理论等多种角度出发给出一种或多种证明。

根据矩阵秩的不等式证明所用到的理论，将证明方法分为向量组法、分块矩阵初等变换法、等价标准形解法或满秩分解法、线性空间法或基础解系法这四个大类。

探索矩阵秩的不等式的应用价值，举例运用已知不等式证明新的矩阵秩不等式以及判定矩阵的秩等，发现秩不等式可以作为矩阵理论的工具，为深入理解矩阵理论、进行应用提供处理方法。

关键词：秩  不等式  证明方法  应用

目录

摘要

Abstract

第1章 绪论-1

1.1 论文研究背景及意义-1

1.2 国内外相关研究综述及评价-1

1.3 论文研究内容及章节安排-2

1.3.1 论文主要研究内容-2

1.3.2 论文结构安排-2

第2章 矩阵秩的理论基础-4

第3章 矩阵秩的不等式及其证明-7

第4章 矩阵秩不等式的证明方法-18

第5章 矩阵秩不等式的应用-19

第6章 总结与反思-25

参考文献-26