摘要：不等式在数学中占据着极为重要的地位，渗透于数学的各个分支.不论是高等数学还是初等数学，不等式均应用广泛.从古至今，人们探索和发现了许多证明不等式的方法.在初等数学中，证明不等式主要从不等式的基本性质出发，并时常结合函数、数列等相关知识，较为常见的证明方法包括比较法、反证法、数学归纳法、换元法、放缩法等；在高等数学中，不等式的证明问题并无固定解决模式，这也意味着解题难度更大，灵活度也相应更高，但依然存在一些较为有效的方法，如运用函数的导数、常见中值定理以及重要不等式等数学理论知识证明不等式.本文将对高等数学和初等数学中不等式的不同证明方法进行讨论，并将常见的证明方法进行初步归类，然后通过例题形式加深对不等式证明方法的理解，旨在培养数学思维，拓宽解题思路，提高创新能力.

关键词：不等式证明 中值定理 函数导数

目录

摘要

Abstract

1. 高等数学中不等式的证明方法-1

1.1. 利用函数的导数证明不等式-1

1.1.1. 利用函数的单调性-1

1.1.2. 利用函数的凸性-2

1.1.3. 利用函数的最值、极值-3

1.2. 利用中值定理证明不等式-3

1.2.1. 利用拉格朗日中值定理-3

1.2.2. 利用柯西中值定理-4

1.2.3. 利用泰勒中值定理-5

1.3. 利用重要不等式证明不等式-5

1.3.1. 利用柯西不等式-5

1.3.2. 利用均值不等式-6

2. 初等数学中不等式的证明方法-7

2.1. 比较法-7

2.1.1. 差比法-7

2.1.2. 商比法-8

2.2. 反证法-9

2.3. 数学归纳法-9

2.4. 换元法-10

2.4.1. 三角换元法-10

2.4.2. 归一法-11

2.5. 放缩法-12

3. 结论-13

参考文献-14