摘要： 不定积分连接了高等数学中微分学和积分学两大部分，起着承上启下的作用。本文简单介绍了微积分的发展历程以及不定积分与导数的互逆关系；对计算不定积分的换元积分法与分部积分法进行了具体的分析，针对不同被积函数类型总结了具体的积分方法，并以具体实例辅以研究，同时对一些难以求解的不定积分进行了说明。文章最后还介绍了不定积分在几何、物理与经济领域的实际应用，不定积分与定积分存在一定的联系与区别，对牛顿-莱布尼茨公式的应用起着奠基作用，也为后续重积分等相关知识起到铺垫作用。通过了解不定积分的来源、掌握常见解题技巧及适用情形、在实际生活中的应用、了解与后面要学习定积分等知识的联系，从而学好不定积分。

关键词：不定积分 换元积分法 分部积分法

目录

摘要

Abstract

1-前言-1

1.1-不定积分的起源-1

1.2-不定积分与导数-1

2-换元积分法-2

2.1-第一换元积分法-2

1.-被积函数为一个复合函数时-2

2.-被积函数为两项乘积时-3

3.-三角恒等变形-5

4.-代数恒等变形-6

2.2-第二换元法-7

1.-根式代换法-7

2.-三角代换法-8

3.-倒代换-11

4.-万能公式-12

5.-指数代换-13

3-分部积分法-13

3.1-被积函数为两种不同类型函数乘积积分-13

1.-当被积函数为幂函数与三角函数或指数函数乘积时-13

2.-当被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数乘积时-15

3.-积分过程中出现循环的积分-15

3.2-被积函数为单一函数，且不能用直接积分法和换元积分法积出， 需要对被积函数变形时-16

1.-恒等变形-16

2.-“1”的妙用-17

3.3-“反-对-幂-三-指”难求解的情况-17

1.-被积函数为三角函数与指数型函数乘积，指数函数的次数时，积分很难求出-17

2.-被积函数为反三角函数和对数函数乘积时，积分很难求出-18

3.-被积函数为指数函数与对数函数乘积时，积分很难求出-18

4.-被积函数为三角函数与对数函数乘积时，也难求出积分-18

4-不定积分的实际应用-19

4.1-不定积分在几何方面的应用-19

4.2-不定积分在物理方面的应用-19

4.3-不定积分在经济方面的应用-20

5-不定积分与定积分的联系与区别-21

5.1-不定积分与定积分的联系-21

5.2-不定积分与其它各类积分间的联系-21

5.3-不定积分与定积分的区别-21

6-结语-22

参考文献-23

致谢-24