摘要：在重积分的计算中，由于被积函数和积分区域有时很复杂，因此按照重积分的定义来照本宣科是非常不理智的。常用的方法把二、三重积分化为累次积分，降低积分顺序，从而进行计算。但是，由于重积分的计算与积分区域有千丝万缕的关系，于是我们介绍了使用函数奇偶性以及区域的对称性，先一步对重积分的运算进行化简。重积分对于证明不等式、确定复杂的积分值、求极限等问题有很大的帮助。对于上面提到的这些问题我们可以利用各种二重积分的运算技巧来解决，找到更适合的解法，节约了大量的时间。关于重积分的应用，本文重点介绍了二重积分的应用，除了我们耳熟能详的求解曲面面积以外，二重积分在物理学，农学方面有着不能忽视的应用。此外，二重积分在现实中有着其他方面的应用，二重积分可用于解答一些复杂的三重积分的难题，例如求解几何体的体积等。在农业中，二重积分也有着非比寻常的作用。

本文介绍了重积分的定义及相关的定理，随后总结了重积分常用的求解技巧。关于二重积分的计算技巧分为一般和特殊两类，一般计算方法涵盖了利用恰当的坐标系进行计算、选用恰当的积分顺序以及利用换元法。特殊计算方法涵盖了利用函数本身的奇偶性以及积分区域对称性计算、利用固定公式计算以及利用二重积分的几何意义计算而三重积分的计算本文介绍比较少，主要是通过改变积分变量、常用的截面法以及利用柱面、球面坐标系。此外，本文还论述了重积分的相关应用，主要是二重积分的应用在物理力学、农学中计算果冠体体机、立体体积、计算曲面面积等方面的应用问题。

关键词：二重积分；计算方法；计算技巧；应用

目录

摘要

Abstract

引言-1

1  绪论-2

1.1  选题背景-2

1.2  选题意义-2

1.3  研究现状-2

1.4  研究思路-3

2  二重积分的特殊计算方法-4

2.1  重积分的定义-4

2.2  利用区间对称性与被积函数奇偶性计算-5

2.2.1  积分区域关于坐标轴对称-5

2.2.2  积分区域关于直线对称-7

2.3  借助固定公式计算-8

2.3.1 利用格林公式计算-8

2.3.2 利用中值定理计算-9

2.4  利用二重积分几何意义计算-9

3  二重积分的一般计算方法-11

3.1  选择适当的坐标系计算-11

3.1.1 利用直角坐标系计算-11

3.1.2 利用极坐标系计算-12

3.2  选择适当的积分顺序计算-13

3.3  利用换元法计算-13

4  三重积分的计算方法-15

4.1  利用截面法计算-15

4.2  利用一般换元法计算-16

4.3  利用柱面、球面坐标系计算-17

5  重积分的应用-19

5.1 曲面面积中的应用-19

5.2 农业中的应用-19

5.3 平面薄片重心中的应用-20

结论-22

参考文献-23