摘要：Schwarz引理是复变函数中的一个重要知识点，同样也是本学科的一个难点。

本论文首先对Schwarz引理的表现形式及其证明进行简略的阐述，并指出其几何意义；其次是对Schwarz引理的推广展开研究，分别是将研究区域由单位圆推广到以原点为圆心，半径为任意的圆域、零点的“次数”、原点之原象的位置、零点的个数以及积分学中的Cauchy–Schwarz不等式，并且给出例题加深理解；最后则是关于Schwarz引理的应用，利用Schwarz引理证明了刘维尔定理以及介绍Schwarz引理在复变函数和单叶函数中的应用。

本论文初步介绍Schwarz引理，结合部分例题对其进行阐述，为日后详细的学习打下基础。

关键词：Schwarz引理；推广；应用

目录

摘要

Abstract

引言

1.1  Schwarz引理的证明-2

1.2  Schwarz引理的几何意义-3

2  Schwarz引理的推广-4

2.1  任意半径圆域的推广-4

2.2  对零点的“次数”加以推广-5

2.3  对原点之原象的位置加以推广-6

2.4  对零点的“个数”加以推广-6

2.5  往任意两圆上的推广-7

2.6  Cauchy–Schwarz不等式-9

3  Schwarz引理的应用-11

3.1  用Schwarz引理证明刘维尔定理-11

3.2  Schwarz引理在复变函数中的应用-11

3.2.1  Schwarz引理在复变函数中的性质-11 

3.2.2  利用Schwarz引理可以决定单位圆盘的所有的解析自同构-16 

3.2.3  应用Schwarz引理，可以得到一些解析函数的有关信息-17

3.2.4  Schwarz引理在从属原理中的应用-19

3.3  Schwarz引理在单叶函数中的应用-21

结    论-24 

参 考 文 献-25