摘要：本文主要研究矩阵的秩的一些性质以及将这些性质运用到线性代数的某些方面中。为了更好地了解矩阵的秩在线性代数中的重要作用以及重要地位，本文从矩阵的概念入手。在充分地理解了矩阵之后，矩阵的秩这一观念可以由极大线性无关组以及一组向量的秩二者相互结合的引出。接下来展示两种求矩阵的秩的方法：定义法和初等变换法。通过实例发现，在求矩阵的秩当中，第二种方法是一个相对来说较简便的方法。在高等代数理论中，矩阵的秩成为了一个极其重要的知识点。完成了明确矩阵的秩的结果的工作，接下来通过研究整理得到矩阵的秩的相关性质，结合这些性质将其应用到四方面：首先观察计算行列式的秩是不是满的，接下来就得到行列式得不得零，这样的话就知道了矩阵的可逆性。通过比较矩阵的秩和未知数的个数能确定线性方程组的解的状态。将向量组构成矩阵的形式，计算得到该矩阵的秩，然后就能知道该向量组是否具有相关性。也可以来判定线性空间的基和维的数量。

关键词：矩阵；矩阵的秩；向量组；线性方程组

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  矩阵的概念-2

2  矩阵的秩的概念-3

2.1  极大线性无关组-3

2.2  向量组的秩-3

2.3  矩阵的秩-4

3  矩阵的秩的计算方法-5

3.1  定义法-5

3.2  初等变换法-5

4  矩阵的秩的一些性质及其证明-7

4.1  关于矩阵乘积的秩-7

4.2  关于的秩-8

4.3  关于矩阵和的秩-9

4.4  关于分块矩阵的秩-9

5  矩阵的秩的应用-11

5.1  判断矩阵是否可逆-11

5.2  使用矩阵的秩来确定线性方程组的解系-12

5.3  使用矩阵的秩来确定一组向量的线性相关性-16

5.4  判定矩阵行（列）空间的维数-17

结    论-19

参 考 文 献-20