摘要：把线性代数和多项式理论看成研究高等代数的两条主线，在线性代数这条主线上，某个数域上的向量空间构成了线性空间，所以研究线性空间的结构对于研究线性代数相关问题显得尤为主要。

线性空间结构的研究方法数不胜数：从元素上说，可以利用基和维数来表达；从不同线性空间的角度来说，可以利用线性空间的同构来研究等等。而从集合的子集角度来看，通过引入线性空间子空间以及子空间的直和，也是一种刻画某个数域上线性空间的一种重要手段。

既然引进了线性子空间的概念，通过利用线性空间的性质以及集合的性质就得到了一个描述某个数域上线性空间结构的重要定理---直和分解定理。

在证明了直和分解定理的基础之上，引发思考：直和分解有什么应用，直和分解定理的思想能解决什么问题，以及是否能将直和分解定理进行推广等等。

我们带着这一系列问题来继续探讨线性子空间的直和分解定理在高等代数的另一条主线---多项式理论上的简单应用与推广，从而将研究高等代数的两条主线联系了起来，以便于更好地研究高等代数这一门学科。最后浅谈对直和分解定理思想的一些探索与思考。

关键词：高等代数；子空间；直和分解定理；多项式理论

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  线性空间的定义与维数-2

1.1  线性空间的定义-2

1.1.1  定义的引入-2

1.1.2  线性空间的定义-3

1.2  线性空间的基-3

1.3  线性空间的维数-4

2  线性空间的直和分解-5

2.1  子空间的引进-5

2.1.1  子空间的概念-5

2.1.2  需要用到的子空间的性质-5

2.2  子空间的运算-5

2.2.1  子空间的交、并与和-5

2.2.2  子空间的直和、补空间-7

2.3  直和分解定理-8

2.3.1  不变子空间的定义-8

2.3.2  直和分解定理的概述-8

2.3.3  直和分解定理的证明-9

3  直和分解定理的简单应用-11

3.1  在齐次线性方程组解空间的应用-11

3.2  关于幂等变换问题的应用-12

3.2.1  幂等变换的定义-12

3.2.2  直和分解在二次幂等变换下的应用-12

4  直和分解定理的简单探索-14

4.1  一个关于最小多项式的引理-14

4.2  线性空间特征多项式的证明-15

5  直和分解定理思想的意义-16

5.1  研究线性空间结构的密钥-16

5.2  直和分解思想的意义-16

5.2.1  数学思维方法的意义-16

5.2.2  直和分解思想的意义-17

结    论-18

参 考 文 献-19

附录A  矩阵解空间直和一般化结论的证明-20