摘要：本文主要研究二次型的性质及其相关的应用，了解二次型的基本理论和矩阵表示是本次研究二次型的前提，标准形是解决二次型问题时的一个重要步骤，用标准形计算问题会更加方便，比如在求解矩阵的特征值时。二次型中一个熟知的性质—唯一性，体现在实二次型和复二次型中，在推理某些结论时需要运用唯一性定理。二次型的正定性是二次型中具有重要地位的内容，重点研究了在判断二次曲面类型、求多元函数极值、不等式证明以及统计中的应用。二次型是学习线性代数时的一个重要内容，需要仔细研究它的相关知识。

关键词：二次型；标准形；唯一性；正定性；应用

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  二次型-2

1.1  二次型基本理论-2

1.2  二次型的矩阵表示-2

1.2.1 对称矩阵-2

1.3  线性替换-3

1.4  替换后的二次型与原二次型的关系-3

2  标准形-5

2.1  只包含平方项的二次型-5

2.2  标准形-6

3  唯一性-9

3.1  复二次型-9

3.1.1  规范形-9

3.1.2  唯一定理-9

3.2  实二次型-10

3.2.1  规范形-10

3.2.2  唯一定理-10

3.3  二次型的一般定理-12

4  正定性-13

4.1  正定二次型的定义及判别定理-13

4.1.1  二次型半正定的定义与相关定理-16

4.2  二次型负定的定义及判别方法-17

4.2.1  二次型半负定的定义与判别方法-18

5  二次型的应用实例-20

5.1  判断二次曲面类型-20

5.2  求多元函数极值-21

5.3  不等式的证明-23

5.4  统计-24

结    论-26

参 考 文 献-27

附录A  附录内容名称-28