摘要：三重积分主要是应用于求解三维空间立体的体积，在数学物理以及其他几何科学方面也已经有广泛的研究应用，因此对三重积分的计算也尤为重要.

本文并没有直接提出定理然后证明，而是利用前人的思想，用简洁的语句逐步将思路和三重积分有关计算方法推导出来.首先，介绍牛顿和莱布尼兹对积分公式的建立方法，借此通过类比可以得出三重积分的基本概念和五个相关性质，然后继续介绍了三重积分在直角坐标系下直接进行转化成为三次单积分的计算形式，还给出了可化为累次积分的投影法以及截面法，紧接着又介绍三重积分变量替换中的球面坐标系法和柱面坐标系法，并且利用推广的对称性简化计算过程，接着介绍了高斯-奥斯特罗格拉茨基公式，将三重积分化成第二型曲面积分来简化求值，接着给出了蒙特卡洛算法和高斯-勒贝格求积公式用来估算三重数值积分，最后将三重积分推广到多重积分上的计算.

三重积分有很多的计算方法，但本文着重介绍计算的思想和方法，并未给出相应的例题，并且从以上六个方面对三重积分的计算方法进行总结，使三重积分的计算条理化.

关键词：三重积分；计算方法；坐标变换；数值算法；多重积分

目录

摘要

Abstract

摘    要-I

Abstract-II

引   言-1

第1章 绪论-2

1.1积分建立的思想方法-2

1.2三重积分问题的历史特点及应用-3

第2章 三重积分的概念-4

2.1积分方程的定义-4

2.2三重积分的概念-5

2.3三重积分的性质-5

2.3.1 线性性质-5

2.3.2 三重积分的积分的可加性-6

2.3.3 三重积分的不等式性-6

2.3.4 三重积分的估值-6

2.3.5 三重积分中值定理-6

第3章 三重积分的求解方法-8

3.1 直角坐标系法-8

3.1.1 将三重积分转化成三次单积分计算-8

3.1.2 采用“先一后二”（投影法）计算三重积分-9

3.1.3 采用“先二后一”（截面法）计算三重积分-9

3.2 变量替换法-10

3.2.1 球面坐标系法-10

3.2.2 柱面坐标系法-11

3.3 高斯-奥斯特罗格拉茨基公式-12

第4章三重积分的数值计算与推广-14

4.1 三重数值积分的计算-14

4.1.1 蒙特卡洛算法估算三重积分近似值-14

4.1.2 利用高斯-勒让德求积公式求解三重数值积分-15

4.2 三重积分在多重积分上的推广-17

结论-18

参考文献-19