摘要：早在18世纪，三角级数就已经被数学家们广泛研究，傅立叶对于三角级数的研究是在研究偏微分方程的边值问题时开始的。傅立叶从小便热爱数学，喜欢思考数学问题，即便境况窘迫甚至时局动荡不安他仍然坚持数学研究。傅立叶级数理论的出现在数学界产生了巨大的动荡和推动作用。

本文主要围绕傅立叶的一生，傅立叶级数的起源和相关应用来描述。从三角级数开始引入，讲述了傅立叶级数形成的历史背景，傅立叶级数对于数学研究发展的推动，利用傅立叶级数理论进行函数处理，展开成傅立叶级数之后进行比较、求和等计算。

具体的文章结构主要有五个部分。第一部分介绍早期即18世纪对三角级数的研究。第二部分是根据时间线索介绍傅立叶的一生以及傅立叶级数的产生。第三部分是从另一个角度即正交投影角度解读傅立叶级数，便于人们更好的理解掌握和学习傅立叶级数。第四部分简介傅立叶级数的收敛性及其展开式。第五部分围绕傅立叶级数在证明等式和不等式，求级数和方面展开叙述。

关键词：傅立叶；三角级数；函数展开式；证明等式；级数和

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  课题研究背景-2

1.1-18世纪函数展开为三角级数-2

1.2-课题研究的意义-3

2  傅立叶和傅立叶级数的出现-4

2.1  傅立叶介绍-4

2.2  傅立叶级数的出现-6

3  换个角度解释傅立叶级数-8

3.1  几何上的正交投影-8

3.2  三角函数系的正交-8

3.3  正交投影角度解读傅立叶级数-9

4  傅立叶级数的收敛性和展开式-11

4.1  以为周期的展开式-11

4.2  以为周期的展开式-12

5  傅立叶级数的应用-14

5.1  傅立叶级数证明等式和不等式-14

5.1.1  证明等式-14

5.1.2  证明不等式-15

5.2  傅立叶级数求级数和-16

结    论-19

参 考 文 献-20