摘要：矩阵作为高等代数中的一个重要的知识组成部分, 也是研究数学及其他许多相关领域的重要工具, 应该值得人们的重视与思考。而矩阵理论中有一个更为重要的问题, 即矩阵的对角化问题, 可对角化矩阵作为矩阵中一类特殊的存在, 是具有十分重要的理论研究价值和实际应用意义的。

对角化问题就是指在一定条件前提下求得一个矩阵, 并且是求得一个除了主对角元素之外的其他元素都为零的矩阵。矩阵的对角化问题与特征值有密不可分的关系, 并且还在矩阵的乘法运算, 矩阵方程, 矩阵理论, 二次型化标准形以及线性变换等方面都有着广阔而宽泛的应用。

本文就矩阵的对角化及其相关知识比较系统全面的研究与探讨。文章在一方面运用了线性代数和高等代数的相关知识进行具体说明, 系统的描述了如何判断一个矩阵是否是可对角化, 并且列举出了进行判断的若干充要条件和相关的定理, 并对定理进行了证明和举例, 以便于人们更好的理解。同时还说明了如何对和对角化矩阵相似的对角阵进行求解的解题方法和过程, 最后在判断矩阵是否相似, 使用特征值方法求解行列式, 高次方阵的求解, 根据特征值特征向量反推矩阵, 以及线性变换等方面的应用进行了系统概括和举例说明。

关键词: 矩阵；特征值；特征向量；相似；对角化

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  概念-2

1.1  特征值与特征向量-2

1.2  特征值与特征向量的求法-2

1.3  几何重数与代数重数-2

1.4  最小多项式-3

1.5  幂等阵-3

1.6  矩阵可对角化-3

1.7  可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤-3

1.8  本章小结-4

2  矩阵可对角化的判定与证明-5

2.1  利用特征向量判断矩阵是否可对角化-5

2.2  利用特征根的性质判断矩阵是否可对角化-6

2.3  利用线性相关知识判断矩阵是否可对角化-8

2.4  利用最小多项式判断矩阵是否可对角化-11

2.5  利用幂等阵相关知识判断矩阵是否可对角化-13

2.6  本章小结-15

3  矩阵可对角化的应用-16

3.1  判断矩阵是否相似-16

3.2  利用特征值求行列式的解-16

3.3  求方阵的高次幂-17

3.4  利用特征值和特征向量反求矩阵-19

3.5  本章小结-21

结    论-23

参 考 文 献-24