摘要：泰勒公式在分析和研究数学问题中具有重要的应用，是研究高等数学的一种关键的方式。本文介绍了泰勒公式的代入和刨析，从函数变化的微分近似开始，通过类比归纳法和“挑回”误差引入泰勒公式，并解释其几何意义，物理意义，原型，唯一性和不足。最后，从哲学的角度分析泰勒公式。这样不仅可以帮助我们理解和掌握泰勒公式，而且可以提高我们的数学思维质量。此外本文从泰勒公式的一般形式开始，在理解泰勒公式的基本含义的基础上，对泰勒公式的一般形式进行一系列推导，并从三个方面获得Peano余项，Lagrange余项和积分余项不同的形式。泰勒公式的科学性已被详细证明，以进一步加深对泰勒公式的理解和函数的研究，形成发散性的思维。然后结合典型例子，详细讨论了泰勒公式的广泛应用，特别是对如何灵活地利用泰勒公式证明不等式的详细分析和总结，用泰勒公式作导数的中值估计和界的估值，求极限和行列式的应用和研究，并给出具体的方法和技巧。通过这样的研究和讨论，我们才可以更好的理解泰勒公式和使用泰勒公式。

关键词：泰勒公式；余项证明；广泛应用

目录

摘要

Abstract

引    言

1  泰勒公式

1.1  泰勒公式的代入

1.2  泰勒公式的的剖析

2  泰勒公式及其余项的证明

2.1  泰勒公式的的各种余项

2.2  泰勒公式的各种余项的证明

2.2.1  带皮亚诺余项泰勒公式的证明

2.2.2  带拉格朗日余项泰勒公式的证明

2.2.3  带积分余项的泰勒公式证明

3  泰勒公式的应用

3.1  证明中值公式

3.2  用泰勒公式证明不等式

3.3  用泰勒公式作导数的中值估计

3.4  关于界的估值

3.5  利用泰勒公式求极限

3.6  泰勒公式在计算行列式中的应用

结    论

参 考 文 献