摘  要

本文从复分析、数学分析、拓扑学、抽象代数、初等方法和构造性证明等多个角度，归纳总结了代数基本定理的证明思想。开篇介绍了代数基本定理的历史，给出了相关证明文献。证明从复变函数的角度运用了柯西定理、刘维尔定理、鲁歇定理、最大模原理、最小模原理、对数留数原理、幅角原理、平均值公式、泰勒级数、零点定理来证明代数基本定理，并对这些方法进行了整合，分析这些方法的内在逻辑和它们蕴含的数学思想。本文还从拓扑学的角度，利用基本群的相关知识，拓展了代数基本定理的几何内涵。本文还用到了许多分析学上的方法证明代数基本定理，体现了代数基本定理证明的多样性和魅力。

目录

一、代数基本定理的证明简介 3

二、代数基本定理内容的表述 4

三、代数基本定理的证明 5

（一）、利用数学分析的知识证明代数基本定理 5

1. 方法一 5

2. 方法二 5

3. 方法三 6

（二）、代数基本定理的初等证明 7

（三）、利用代数拓扑的知识证明代数基本定理 8

1. 定义 8

2. 引理 8

3. 定义 8

（四）、利用复变函数的知识证明代数基本定理 9

1. 方法一 9

2. 方法二 9

3. 方法三 10

4. 方法四 10

5. 方法五 11

6. 方法六 11

7. 方法七 11

8. 方法八 12

9. 方法九 12

10. 方法十 13

（五）、利用代数学的知识证明代数基本定理 13

（六）、利用指数函数的性质证明代数基本定理 13

（七）、考虑一个二元参数的积分来证明代数基本定理 13

（八）、利用抽象代数证明代数基本定理 14