摘要：实数完备性定理是数学分析中的重要内容之一.本文以柯西收敛原则作为实数完备性定理的公理，将实数看作是有序域和完备性的统一，探讨不同数集是否具备完备性且构成有序域.根据已有知识对数集进行定义并对数集上的序进行讨论，一一论证不同数集是否构成有序域.利用柯西收敛准则分别对数集进行柯西数列的构造，并观察所得数列能否满足柯西收敛准则，是否收敛到该数集，判断该数集是否具有完备性.深化对实数的完备性概念的理解，充分把握柯西收敛准则在实数完备性定理中所起到的本原和基础作用，并运用柯西收敛准则对其等价定理进行证明和阐述.

关键词

柯西数列； 收敛； 柯西收敛准则； 完备性； 有序域

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摘要

ABSTRACT

1.绪论-1

2.自然数集-3

2.1自然数集的基本概念-3

2.2自然数集的完备性-5

3.整数集-7

3.1整数集的基本概念-7

3.2整数集的完备性-8

4.有理数集-9

4.1有理数集的基本概念-9

4.2有理数域的不完备性-12

5.实数集-15

5.1实数集的基本概念-15

5.2实数域的完备性-16

5.3柯西收敛准则的等价命题证明-20

参考文献-25

致谢-26