摘要：积分上限函数是一类特殊的函数,它是沟通不定积分和定积分之间的桥梁,所以在微积分理论中占有重要的地位。因为积分上限函数具有的性质比被积函数的性质更优良,所以值得进一步去探索,同时也为讨论一些定积分问题提供了一个新的思路。在涉及抽象函数的定积分问题、证明一些含有积分的命题时,通过巧妙的去构造积分上限函数,运用一些分析或初等方法,可使问题迎刃而解。作积分上限函数,表面看起来很复杂,但只要掌握了它的应用规律就能化难为易。

本文是通过运用积分上限函数的可导性、单调性、连续性、可积性,进一步探讨了积分上限函数的分析性质,并且推导出相关的定理以及积分上限函数的求导关系,能够运用这些定理解决一些问题。通过积分上限函数在证明微分中值定理中的应用、在证明不等式中的应用以及在证明原函数等问题,充分的去理解积分上限函数的作用,能够解决一些对应的微积分问题。

关键词：积分上限函数；性质；导数；应用

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  积分上限函数的定义-2

1.1  积分上限函数的定义-2

2  积分上限函数性质-3

2.1  积分上限函数的初等性质-3

2.1.1  单调性-3

2.1.2  奇偶性-3

2.1.3  周期性-3

2.1.4  有界性-4

2.2  积分上限函数的分析性质-4

2.2.1  凹凸性-4

2.2.2  连续性-5

2.2.3  可导性-5

2.2.4  可积性-5

3  积分上限函数的导数-6

4  积分上限函数的应用-9

4.1  利用积分上限函数证明积分等式-9

4.2  利用积分上限函数证明积分不等式-10

4.3  利用积分上限函数求幂级数的和函数-12

4.4  利用积分上限函数求解函数方程-13

4.5  利用积分上限函数求解全微分-14

4.6  利用积分上限函数求解导数-14

4.7  利用积分上限函数计算重积分-16

4.8  利用积分上限函数证明中值定理-16

4.9  利用积分上限函数求解函数关系式-17

4.10  利用积分上限函数证明方程根的存在性-18

4.11  积分上限函数在极限中的应用-19

4.12  在随机变量概率密度函数的求解方面的应用-20

4.13  关于积分上限函数的曲线弧长-20

4.14  最值极值问题-21

结    论-22

参 考 文 献-23