摘要：矩阵可对角化是高等代数中非常重要的一节内容，也是高等数学中重要的知识点，因为它涉及的内容比较多且散，现对此部分内容进行分析总结。具体包括矩阵可对角化的充分必要条件以及相应的证明，怎么选用合适的方法来判断矩阵可对角化；列举出几类特殊的可对角化矩阵；可对角化矩阵的应用，例如矩阵多次幂的计算，利用特征值求行列式的值，通过特征值与特征向量反求矩阵，判断矩阵是否相似，特殊矩阵的特征值的求法，以及线性空间中的对角化等；矩阵可对角化还有一类特殊的情况，可分为矩阵同时相似对角化与矩阵同时合同角化，并给出了相应的概念和定理等。矩阵可对角化不仅涉及矩阵，而且涉及线性空间中的线性变换，矩阵语言可以转换为线性变换的语言，两者可以相辅相成进行证明。有限维线性空间中同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，符合一些条件时，相似情况下的矩阵从结构上看来是最简单的对角矩阵，对角线上的元素就是其特征值。它给我们的研究带来很多的方便，要注意到并不是所有矩阵都可相似为对角矩阵。

关键词：矩阵对角化；特征值；特征向量

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  矩阵对角化的充要条件-2

1.1  矩阵可对角化的判定方法一-2

1.2  矩阵可对角化的判定方法二-4

1.3  矩阵可对角化的判定方法三-5

1.4  证明判定方法四的备用命题-6

1.5  矩阵可对角化的判定方法四-8

1.6  矩阵可对角化的判定方法五-9

1.7  矩阵可对角化的判定方法六-12

2  特殊矩阵的对角化-14

2.1  实对称矩阵的对角化-14

2.2  幂等矩阵的对角化-16

2.3  对合矩阵的对角化-17

2.4  迹非零且秩为1的矩阵的对角化-18

2.5  复数域循环矩阵的对角化-19

2.6  伴随矩阵，矩阵多项式，可逆矩阵的对角化-20

3  矩阵可对角化的应用-22

3.1  矩阵的计算-22

3.2  行列式的计算-23

3.3  矩阵的求解-23

3.4  矩阵相似关系的判断-25

3.5  特殊矩阵特征值的计算-26

3.6  线性空间中的对角化-26

4  可同时对角化的矩阵-28

4.1  矩阵可同时对角化的定义-28

4.2  矩阵可同时对角化的相关定理-28

结    论-33

参 考 文 献-34