摘要：矩阵在现代数学中一直是一个重要的数学基本概念,是近现代数学的一个主要理论研究课题对象之一.而对称正定矩阵理论作为传统矩阵代数理论中一类重要的基本矩阵,在传统代数理论方面也一直占有非常重要的研究地位.本文主要研究的矩阵对象为实对称正定矩阵,通过理论给出上述正定对称矩阵的基本定义、性质及基本定理,对上述矩阵正定的判别方法进行理论扩充,并列举正定矩阵在其他方面的一些应用.

本文首先给出实正定矩阵的定义、性质和定理,在了解实正定矩阵的相关定义及定理后,总结出几种判别矩阵正定的方法,即定义法、主子式法、特征值法及合同变换法,并给出相应的实例,最后列举出矩阵正定的一些主要应用.例如矩阵正定在不等式中的应用、利用数学分析中的黑塞矩阵来判断多元函数的极值等.

关键词:正定矩阵;判别方法;应用

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  正定矩阵的定义-2

2  正定矩阵的性质-3

3  正定矩阵的定理-4

4  矩阵正定的判别方法-8

4.1  定义法-8

4.2  主子式法-9

4.3  特征值法-11

4.4  合同变换法-14

5  正定矩阵的应用-17

5.1  正定矩阵在不等式中的应用-17

5.1.1  利用正定矩阵的定义证明不等式-17

5.1.2  证明柯西不等式-17

5.2  利用矩阵正定判别多元函数的极值-18

结    论-23

参 考 文 献-24