摘要：柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。从历史的角度，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式）。因为柯西不等式是由后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式在高等数学的研究中占据着非常重要的位置，是高等数学研究重要内容之一。

柯西不等式是一个十分重要的不等式，本文将从三个部分探究柯西不等式。首先论述了柯西不等式及其证明。从柯西不等式不同的形式与内容出发，进而可以深入理解柯西不等式的本质及几何解释，并给出了直接法、配方法、数学归纳法、二次型证明法以及线性相关性法这五种方法来证明柯西不等式；其次阐述了柯西不等式的推广形式。具体列举了柯西不等式积分形式、矩阵形式、指数形式以及欧氏空间形式这四种形式的推广；最后描述了柯西不等式的相关应用。主要介绍了柯西不等式在求解最值、证明不等式上的应用，并且给出了相关的例证。

关键词：柯西不等式；柯西不等式的证明；柯西不等式的应用

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  柯西不等式及证明-2

1.1  柯西不等式-2

1.1.1  柯西不等式的形式-2

1.1.2  柯西不等式的实质与几何解释-3

1.2  柯西不等式的证明-3

1.2.1  直接法-3

1.2.2  配方法-4

1.2.3  数学归纳法-4

1.2.4  二次型证明法-5

1.2.5  线性相关性法-6

1.3  小结-6

2  柯西不等式的推广-7

2.1  积分形式推广-7

2.2  矩阵形式推广-7

2.3  指数形式推广-9

2.4  欧氏空间形式推广-11

2.5  小结-12

3  柯西不等式的应用-13

3.1  柯西不等式在求解最值方面的应用-13

3.1.1  柯西不等式在求解函数最值上的应用-13

3.1.2  柯西不等式在求解数列最值上的应用-15

3.2  柯西不等式在证明不等式上的应用-16

3.2.1  柯西不等式在证明整式与分式不等式上的应用-17

3.2.2  柯西不等式在证明其他不等式上的应用-18

3.3  柯西不等式的一些其他应用-20

3.3.1  柯西不等式在平面几何上的应用-20

3.3.2  柯西不等式在求解参数上的应用-20

3.3.3  柯西不等式在求解方程问题上的应用-21

3.3.4  柯西不等式在生活中的应用-21

3.4  小结-22

结    论-23

参 考 文 献-24