摘要：二重积分在数学分析中具有十分重要的地位，它是定积分的推广，也是多元函数微分学内容的中心环节。因此，二重积分的相关探究和应用能解决很多数学领域上的问题，其相关理论可用于研究空间立体体积和曲面面积的相关问题。同时，在物理力学的领域中，可以把二重积分看成许多物理量的和的极限。

二重积分的形式不胜枚举，在不同的情况和形式下探究并运用最清晰明了简洁的算法是我们目前研究二重积分的主要课题。有的二重积分需要一定的技巧才能解答，而有些二重积分可以运用数形结合思想来运用图像进行理解，或者直接运用公式将二重积分化简或转换成几何性质上的思想来得到问题的结果。

学好积分学的关键在于熟练掌握二重积分，并能够运用二重积分解决实际问题，感受到二重积分即来源于生活，又能够根据前提来解决生活中的实际问题。

本文总结了二重积分的概念的推导过程，之后介绍了二重积分的解题的计算方法和关于二重积分的相关应用。其中累次积分和换元法是一般计算方法，二重积分的相关应用包括计算空间立体体积、计算曲面的面积和计算曲面的积分等方面。

关键词：二重积分；直角坐标系；换元法；曲面面积

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1 二重积分的来源与发展-2

2 二重积分的概念及其性质-3

2.1曲顶柱体的体积-3

2.2平面薄片的质量-4

2.3二重积分的几何意义-4

2.4 二重积分的性质-4

2.4.1 线性性质-4

2.4.2 积分区域的可加性-5

2.4.3 积分值的比较-5

2.4.4 估值定理-5

2.4.5 积分中值定理-6

3 二重积分的计算方法-7

3.1利用直角坐标计算二重积分-7

3.2极坐标下的二重积分解法-9

3.3二重积分的变量变换-10

3.4 根据奇偶性解二重积分-11

4 二重积分的应用-14

4.1 二重积分和的应用-14

4.2 重心-14

4.3 平面区域的面积-15

4.4 平面薄片的转动惯量-15

4.5 地心引力-17

结    论-18

参 考 文 献-19