摘要：在整个高等数学体系中，级数是其中的一个极其重要的组成部分，其研究的方法和理论不仅是逼近理论中的重要内容，同时也是分析学中的重要分支之一，在微积分学中起着举足轻重的作用；在科学实验和生产实践的推动作用下，级数开始逐步形成和发展。而幂级数作为一个串联整个系统的重要组成部分，不仅作为重要概念广泛应用于数学分析中，而且因其简单的结构特点而广泛应用于实变函数、复变函数等许多理论和实践中，特别是函数的幂级数展开，由于其自身便于运算的性质让我们对他有新的认识。函数的幂级数展开可以将问题的形式进行转变从而使复杂的问题进行简单化，因此它是解决诸多问题的利器。

这篇文章主要论述了函数幂级数展开的几种应用。首先，在本篇文章的引言部分主要阐述了级数和幂级数的产生、发展及其广泛的应用；其次，简述了幂级数的定义及函数的幂级数展开方法；在接下来的几章里，主要通过归纳和举例分析了幂级数在计算极限、求导、定积分、解微分方程、证明欧拉公式等方面的应用，并讨论了如何运用幂级数及其性质解决在数学中所出现的计算、求解和证明等方面的问题。

关键词：幂级数；展开；应用

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  幂级数的定义及函数的幂级数展开-4

1.1  幂级数的定义-4

1.2  函数的幂级数展开-4

1.2.1  函数的幂级数展开式-4

1.2.2  函数的幂级数展开方法-5

2  幂级数在求极限、求导、求积分及求幂级数和中的应用-7

2.1  幂级数在求极限中的应用-7

2.2  幂级数在求导中的应用-8

2.3  幂级数在计算定积分方程中的应用-8

2.4  幂级数在求级数和中的应用-9

3  幂级数在计算组合概率、正态分布函数与期望方差中的应用-12

3.1  幂级数在计算组合概率中的应用-12

3.2  幂级数在计算正态分布函数中的应用-12

3.3  幂级数在计算数学期望与方差中的应用-13

4  幂级数在求解方程中的应用-15

4.1  幂级数在求解微分方程中的一个用-15

4.2  幂级数在求解差分方程的应用-16

5  幂级数在证明中的应用-18

5.1  幂级数在证明不等式中的应用-18

5.2  幂级数在证明组合恒等式中的应用-19

5.3  幂级数在证明欧拉公式中的应用-20

结    论-22

参 考 文 献-23