摘要：本次论文我要研究的是实数的定义与完备性定理的证明与应用，通过用对实数定义不同的方法来更深层次的理解实数，以证明实数的完备性定理与应用为重点。首先，通过探讨康德尔与戴德金这两位数学家的定义方法来理解实数，探索实数的世界是怎么来定义的。其次是通过对于实数的完备性定理来进行证明，对于实数完备性解释的定理由确界原理，区间套定理，单调有界定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则定理，聚点定理这七个角度来诠释。通过对于这些定理的证明推导出它们等价的关系。并且提出了对于完备性的性质可以用来证明一些其它数学定理想法，其中包括根的存在性定理，中值定理，函数的一直连续性等。

关键词：实数；完备性证明；证明应用

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  实数-2

1.1  实数的由来-2

1.2  实数的定义-2

1.2.1康托尔的实数定义（基本数列）-2

1.2.2戴德金的实数定义（划分）-3

1.3  关于实数的空间-3

2  实数的完备性与定理证明-5

2.1  实数完备性的定义-5

2.2  定理证明-5

2.2.1  确界原理-5

2.2.2  单调有界定理-8

2.2.3区间套定理-9

2.2.4海涅一博雷尔有限覆盖定理-10

2.2.5致密性定理-11

2.2.6聚点定理-12

2.2.7柯西收敛准则-13

3 完备性定理的应用-14

3.1  用有限覆盖定理证明根的存在性定理-15

3.2  用区间套定理来证明中值定理-15

3.3  用有限覆盖定理可以证明连续函数的一致连续性-16

3.4  用区间套定理证明有界性定理-16

结    论-18

参 考 文 献-19