摘要：凸函数是一类具有良好的代数和几何性质的典型函数，广泛应用于数学的多个领域之中，所以对凸函数性质和应用的研究具有极其重要的理论意义和现实意义。

首先，本文在第一章论述了凸函数的定义及等价定义，简单描述和分析了凸函数的图像，归纳和总结了凸函数的几种常用判定方法。

其次，本文在第二章对凸函数的性质进行了深入分析和研究，包括凸函数的一些运算性质和分析性质。其中，Jensen不等式是凸函数一个极其重要的性质，可以说凸函数和Jensen不等式是统一的整体。对凸函数性质的分析为下一章对凸函数的应用的研究做了极其重要的铺垫。

最后，本文在第三章对凸函数的应用进行了分析和研究，凸函数的应用是十分广泛的，本章主要讨论了凸函数在证明不等式和求解最值问题两个方面的应用。一方面，凸函数是证明不等式的一个非常重要的工具，由Jensen不等式可以推导出一系列重要的不等式，如Holder不等式、Minkowski不等式，利用凸函数的性质能够证明一些初等不等式、函数不等式以及积分不等式；另一方面，凸函数也是求解最值问题的有效手段，将其应用到函数和几何中的最值问题中都会产生意想不到的结果。

关键词：凸函数；Jensen不等式；不等式 

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  凸函数的定义、图像及判定定理-2

1.1  凸函数的定义-2

1.2  凸函数的图像-2

1.3  凸函数的判定定理-3

2-凸函数的性质-6

2.1  凸函数的一些运算性质-6

2.2  凸函数的一些分析性质-8

2.3  可导的凸函数的一些重要性质-14

3  凸函数的应用-16

3.1  凸函数在证明不等式中的应用-16

3.1.1  利用Jensen不等式证明一系列经典不等式-16

3.1.2  利用凸函数的性质证明初等不等式-17

3.1.3  利用凸函数的性质证明函数不等式-20

3.1.4  利用凸函数的性质证明积分不等式-21

3.2  凸函数在求解最值问题中的应用-23

结    论-28

参 考 文 献-29