摘要：凸函数是一类极其重要的函数，是函数类别中一个非常重要的分支。1905年著名数学家Jenson在其著作中首次提出凸函数概念。到目前为止，凸函数的研究已经从凸性的研究出发到凸函数的相关概念与从性质，再到凸性的应用等多发展方面。凸函数在众多数学分支中有着极其广泛的应用，例如在数学分析、运筹学、高等代数、最优化理论、泛函分析等当中。凸函数现已成为众多数学领域的理论基础和强有力的应用工具。常见的凸函数可以分为两类，一类是上凸函数，曲线位于每一点切线的下方或曲线任意两点之间的弧度总是处于这两点连线的上方的函数；另一类是下凸函数，其概念与上凸函数恰恰相反。为了理论突破，并加强实践上的应用，产生了广义凸函数。本文从函数的凸性出发，引出了凸函数的概念，之后对其概念作出了不同形式的常见等价定义，并给予证明与简单的应用练习。其次，给出了凸函数的几个简单性质和特殊性质。最后，应用凸函数的相关概念和简单性质，来解决凸集的相关知识，判断函数极值、描绘函数图像以及不等式证明这四个方面的众多应用。

关键词：凸函数；等价定义；性质；不等式；应用

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  凸性与凸函数-2

1.1  凸性-2

1.2  凸函数定义-2

2  凸函数的等价定义与简单证明-3

3  凸函数的性质-12

3.1  凸函数简单性质-12

3.2  凸函数微分性质-12

3.3  凸函数积分性质-13

4  凸函数的应用-14

4.1  凸集与凸函数-14

4.2  凸函数极值-15

4.3  凸函数图像-17

4.4  凸函数与不等式证明-20

结    论-28

参 考 文 献-29