摘要：在大学学习数学的过程中，常微分方程是解决数学分析或基础数学问题的一个重要组成部分，同时它也是解决实际应用问题的一个重要工具.许多数学问题都是在生产实践和科技发展过程中遇到的，其中大多数可归结为常微分方程的相关问题.简单的一阶常微分问题用初等方法就可以解决，而有特定条件的微分方程无法用初等方法求得. 出现频率较高的就是常微分方程的初值问题，但是对于初值问题只有一小部分能用初等解法求出精确解，大多都只能用近似方法求解，所以说研究解决初值问题的解法是很有必要的.常微分方程的数值解法是一种离散的解法，通过自变量离散点处的近似值能求出函数的精确解.随着探究的加深，数值解法不断增加，比较常用的解法有梯形法、Euler折线法、差分法、隐式Euler法、龙格-库塔公式、单步法、线性多步法等，这些方法在国内外都有研究涉猎，具体可参考文献.

文章第一部分是常微分方程的相关预备知识，第二部分是关于初值问题解法的讨论，第三部分是关于数值方法收敛性和稳定性的分析，第四部分是对初值解法进行一些拓展，第五部分是举例介绍了一些有关微分方程数学模型，使常微分方程更贴近实际生活.本文介绍的是常微分方程初值问题解法中前人常用解法的总结比较，得到较为行之有效的解法和常微分方程的一些简单应用.

关键词：常微分方程；初值问题；数值解法

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  常微分方程相关预备知识-2

1.1  基本概念-2

1.2  初等解法-2

1.3  一阶隐式微分方程-3

2  初值问题的数值解法-6

2.1  初值问题的提出-6

2.2  单步法-7

2.3  多步法-9

2.3.1  阿达姆斯(Adams)外插法-10

2.3.2  阿达姆斯(Adams)内插法-10

2.4  局部截断误差分析-14

3  收敛性与稳定性分析-18

3.1  单步法的收敛性与稳定性-18

3.2  线性多步法的收敛性与稳定性-20

4  拓展解常微分方程初值问题的方法-22

4.1  拉普拉斯变换法-22

4.2  矩阵解法-22

5  常微分方程初值问题的应用-23

5.1  一阶微分方程模型-23

5.1.1  环境污染模型-23

5.1.2  传染病模型-23

5.1.3  船舶结构稳定分析-24

5.1.4  人口模型-24

5.1.5  生物种群模型-25

结    论-26

参 考 文 献-27