摘要：在数学分析的学习中，离不开导数和微分，所以说，导数和微分是学习数学分析的基础，数学分析包括很多分支，其中它的重要分支之一就是微分学，而微分学的基本定理之一是微分中值定理，占有重要的地位，是解决数学问题的重要工具，它的里面有一系列的中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理，每个定理之间都有相互的联系，并且可以用于解决不同条件下的很多问题，尤其是对于函数和导数的问题，有了它就建立起了它们之间的桥梁。不仅局限于数学领域的使用，而且还有物理以及工程领域，对于现代社会的进步有重要的推动作用。本论文将会详细给出三个定理的内容，第一部分，概述三个定理的演变历程以及它们的重要作用，初步了解定理；第二部分，对罗尔定理进行证明，通过区间套法，给出了一种区别于教材上的费马定理的方式，体现其中不同的数学思想；运用参数变易法对拉格朗日中值定理进行论证，还有教材上的辅助函数法；运用罗尔定理、达布定理对柯西中值定理进行证明，通过运用不同的方式，更充分的理解其中的数学思想；第三部分，呈现出定理在不同方面的实际应用，表现出定理运用的灵活性，突破了函数的局部性问题，可以很好地解决整体性问题。掌握微分中值定理可以使许多问题迎刃而解，它是人们研究数学领域的强有力的工具。

关键词：微分中值定理；证明方法；应用

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  概述-2

1.1 微分中值定理的发展历程-2

1.2 微分中值定理的意义-3

1.3 微积分中几个常见的微分中值定理-3

1.3.1  罗尔中值定理-4

1.3.2  拉格朗日中值定理-4

1.3.3  柯西中值定理-4

2  罗尔中值定理-4

2.1  罗尔中值定理的内容-4

2.2  罗尔中值定理的证明-5

2.2.1  证法一（利用费马定理）-5

2.2.2  证法二（闭区间套法）-5

2.3  罗尔中值定理的应用-7

2.3.1  证明根（零点）的存在性-7

2.3.2  证明中值公式-8

3  拉格朗日中值定理-8

3.1  拉格朗日中值定理的内容-8

3.2  拉格朗日中值定理的证明-9

3.2.1  证法一（辅助函数法）-9

3.2.2  证法二（参数变易法）-9

3.3  拉格朗日中值定理的应用-9

3.3.1  证明不等式-9

3.3.2  证明等式-10

3.3.3  求函数的极限-11

3.3.4  解决估值问题-12

3.3.5  证明函数单调性-12

3.3.6  求近似值-12

3.3.7  证明函数为常值函数-13

4  柯西中值定理-13

4.1  柯西中值定理的内容-13

4.2  柯西中值定理的证明-14

4.2.1  证法一（利用罗尔定理）-14

4.2.2  证法二（利用达布定理）-14

4.2.3  证法三（复合函数法）-15

4.3  柯西中值定理的应用-15

4.3.1  证明等式-15

4.3.2  推导中值公式-16

4.3.3  求极限-17

4.3.4  证明不等式-17

结    论-19

参 考 文 献-20