摘要：微分中值定理不但是微分学的一项基本工作,而且还是研究数学的一个重要方法。因此,关于微分中值定理的扩展、研究及重新发表论述一直被认为是一个历史悠久且已成为主流的话题。微分中值定理的重新证明不但有利于帮助初学者更好地理解和把握微分中值定理,而且还更加有利于定理的灵活应用,通过对中值定理进行推广,可以使我们得到更一般的结果。辅助函数的构造是转化成为数学问题的主要手段。复杂的问题可以由一些精心设计的数学转移而成普通的问题。这样建构的思想同时也是我们在分析数学问题时的表达方式。通过阐述微分中值定理的含义及其内涵,选择了辅助函数,证明了微分中值定理。

本文就简要部分介绍罗尔中值定理、拉格朗日定理和柯西中值定理三个基本中值定理的理论历史背景而言。其次，证明和扩展推广罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。最后简要详细介绍了用在微分上的中值函数定理的实际理论应用,包括了以用在微分上的中值函数定理为例来精确说明中值的存在性，以及用微分上的中值函数定理为例来精确证明等式。

关键词：中值定理；拉格朗日定理；罗尔定理；柯西定理；辅助函数

目录

摘要

Abstract

引    言-1

1  微分中值定理的相关背景-2

1.1  微分中值定理的发展历史-2

1.2  微分中值定理-2

1.2.1  微分中值定理的介绍-2

1.2.2  微分中值定理的互相联系-3

2  微分中值定理的证明和推广-4

2.1  罗尔中值定理的证明-4

2.2  拉格朗日中值定理的证明-4

2.3  柯西中值定理的证明-5

2.4  微分中值定理的推广-6

3  微分中值定理的应用-7

3.1  运用微分中值定理说明根的存在性及函数单调性-7

3.2  运用微分中值定理证明不等式-8

3.3  运用微分中值定理证明等式-11

3.4  运用微分中值定理证明Taylor公式-13

3.5  运用微分中值定理研究Taylor公式余项的应用-14

结    论-17

参 考 文 献-18