摘要：微分中值定理可以看作微分学的一个基本定理，它是中值定理的总称，反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，主要应用于研究函数问题。通过运用微分中值定理能够更好的建立导数与函数增量、自变量增量之间的关系。据此，对于函数本身的性质我们可以利用导数去发现。本文利用三个微分中值定理及连续函数的性质,将原有的三个微分中值定理进行推广,得到几个新的微分中值定理，并通过实例阐明新的微分中值定理的适用性。从多个角度论述了微分中值定理及其三个定理之间的关系，并举例说明微分中值定理在数学中的应用。经过推广罗尔中值定理，得到了拉格朗日中值定理及柯西中值定理，同时罗尔中值定理也可以看作拉格朗日中值定理的特殊情况，其他定理为拉格朗日中值定理推广。通过多角度分析，总结、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的应用范围。用很多例题说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、函数的单调性、方程根的存在性、达布定理、不等式及恒等式的证明、函数极限计算等方面的一些运用。

关键词：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

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摘要

Abstract

引    言-1

1 微分中值定理及推广-2

1.1罗尔中值定理及推广-2

1.1.1 罗尔中值定理-2

1.1.2 罗尔中值定理的推广1-3

1.1.3 罗尔中值定理的推广2-3

1.2 拉格朗日中值定理及推广-4

1.2.1 拉格朗日中值定理-4

1.2.2 拉格朗日中值定理的推广1-6

1.2.3 拉格朗日中值定理的推广2-6

1.3 柯西中值定理及推广-7

1.3.1 柯西中值定理-7

1.3.2 柯西中值定理的推广-8

2 微分中值定理的应用-9

2.1 导数极限定理-9

2.2 函数的单调性-10

2.3 导数估值问题-10

2.4 证明不等式-11

2.5 证明方程实根的存在-11

2.5.1 直接法-11

2.5.2 常数K值法-12

2.6 计算极限-12

2.6.1 型不定式极限-12

2.6.2 型不定式极限-14

2.6.3 其他类型不定式极限-16

结论-19

参考文献-20