换要：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差，在求独立随机变量和分布上的应用，利用独立随机变量和的性质推广，往往能使问题得到简化。在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解，在求解一些积分上问题的时候，可以通过构造特征函数使问题简单。本文详细介绍了用特征函数的方法来证明几种分布的可加性性质。

 

关键词：特征函数，分布，可加性

 

 

前言 3

1.特征函数的定义及性质 4

2.常见的分布及其特征函数 4

2.1 巴斯卡分布 5

2.2 负三项分布 5

2.3 二项分布 7

2.4 泊松分布 8

2.5 复合泊松分布 9

2.6 正态分布 10

2.7 Gamma分布 11

2.8 卡方分布 12

2.9 柯西分布 13

3.特征函数的其他应用 13

3.1 用特征函数证明中心极限定理 13

3.2 求分布的积分运算转换成微分运算 14

3.3 求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题 14

3.4 用特征函数法证明德莫哇佛-拉普拉斯积分极限定理 15

3.5 用特征函数法证明林德贝尔格——勒维（Lindeberg-Levy）定理 15

参考文献 16

致谢 17