摘 要：在初等数学与高等数学中，柯西不等式是重要的不等式之一.柯西不等式的结构严谨、对称、和谐，被广泛地应用于数学的每一个分支中.灵活巧妙地运用柯西不等式来解决问题，能够收到意想不到、一举多得的效果.本篇论文将给出柯西不等式的证明方法和推广、推论，并列举出一些典型题目来说明柯西不等式的在数学领域的应用及其价值.

 

 

关键字：柯西不等式，推广不等式，二次型，向量内积

 

目  录

 

1 引言 6

2 柯西不等式及其证明 6

2.1 柯西不等式 6

2.2 柯西不等式的证明 6

2.2.1 判别式法 6

2.2.2 配方法 7

2.2.3 数学归纳法 7

2.2.4 基本不等式法 8

2.2.5 推广不等式法 9

2.2.6 利用二次型 10

2.2.7 利用向量内积 10

3 柯西不等式的推论及其变形 10

3.1柯西不等式的推论 10

3.2 柯西不等式的变形 11

3.3 柯西不等式的积分形式 12

4 柯西不等式的应用 13

4.1 关于证明等式方面的应用 13

4.2 关于证明不等式方面的应用 15

4.3 在求最值方面的应用 17

4.4 在解析几何方面的应用 19

结 论 22

参 考 文 献 23

致 谢 24