摘  要

上、下极限是极限概念的延伸，在很多问题的处理上都有重要作用，成为高等数学的重要理论部分.上下极限为某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，正确地理解和认识数列的上、下极限，有利于更好地认清数列.数列上下极限的概念在许多研究领域里都有重要的应用.

文章首先给出了数列的上下极限的多种定义方式,然后给出了数列上、下极限的性质并且对性质给予了证明.最后给出了上下极限在很多问题上的应用，如数列上、下极限在判断数列敛散性、极限的运算等方面的应用，以及在级数论中利用上、下极限得到幂级数收敛半径和在后续教程中特别是实变函数的教学等方面的应用.总之，正确地理解和认识数列的上、下极限有助于培养创新性思维，提供一些全新的思路.

关键词：上下极限；敛散性；应用

目  录

中文摘要 I

英文摘要 II

1  绪论 1

1.1  课题的目的与意义 1

1.2  文献综述 1

1.3  本领域存在的问题 1

1.4  本课题主要研究内容 2

2  数列上、下极限的概念 3

2.1  数列的上、下极限的定义 3

2.2  数列上、下极限的性质 9

3  数列上、下极限的应用 13

3.1  上、下极限在数列敛散性中的应用 13

3.2  上、下极限在极限运算中的应用 16

3.3  上、下极限在级数论中的作用 17

3.4  上、下极限在后续教程中的应用 18

结    论 21

参考文献 22