摘    要

 

作为高中数学中的一个模块，柯西不等式占有着一定的重要位置，并且在各省前几年的高考数学卷中都有考题，其中大题形式考察居多。之后柯西不等式走进了了高中教材里面的选修 4-5 ——《不等式选讲》。作为其中一部分的柯西不等式，在拓展学生的数学认识方面，有很大的作用。柯西不等式在数学中的应用非常普遍，例如求极值问题、不等式证明问题、解方程等都可以用柯西不等式来求解。柯西不等式为数学解题提供了思维方法，增强学生的逻辑性和知识的整合性。

因此，通过查阅相关文献资料，本文从高中柯西不等式的常见表现形式作为着手点，继而研究其衍生出的变形和推广。之后为体现数学的严谨性，介绍了柯西不等式证明的四种通法：作差法、作商法、判别式法和向量法。最后研究高中数学题中柯西不等式的应用，主要是以下五个方面的题型应用分析：证明不等式、证明恒等式、解方程（组）、求最值以及解圆锥曲线，并且得出用柯西不等式解决各类题型的一些解法技巧，如巧拆常数、匹配辅助式、改变结构、利用变式等。

从很大程度上讲，本文对灵活使用柯西不等式来解决高中数学题有极大的价值，可以降低问题难度，增加题目的解法，做到一题多解，发展学生的思维发散性。

 

 

关键词：柯西不等式；函数；方程；几何

目录

 

一、 引言 1

（一） 选题背景 1

（二） 研究目的与意义 1

（三） 本文拟解决的问题 1

二、 柯西不等式及其证明 2

（一） 柯西不等式的表现形式 2

1． 一般形式 2

2． 向量形式 2

3． 特殊形式 2

（二） 高中数学中柯西不等式的变形与推广 2

1． 一般形式的柯西不等式的变形与推广 3

2． 特殊形式的柯西不等式的变形与推广 3

（三） 高中数学中柯西不等式的证明 4

1． 证法一  作差法证明 4

2． 证法二  作商法证明 5

3． 证法三  判别式法证明 5

4． 证法四  向量法证明 6

三、 柯西不等式的应用 7

（一） 证明不等式 7

1． 证明简单不等式 7

2． 证明复杂不等式 7

（二） 证明恒等式 9

（三） 解方程（组） 9

1． 解方程 9

2． 解方程组 10

（四） 求最值 11

1． 求最小值 11

2． 求最大值 12

3． 混合型 12

（五） 解圆锥曲线 13

四、 本文结论 14

五、 参考文献 16

六、 致谢 17