常微分方程解的收敛性.docx[原创毕业论文]

摘要正文

本篇论文主要是对于常微分方程解的收敛性进行了讨论.我们从微分方程的不同解法入手，讨论了四类微分方程的解的收敛情况.

首先是对于可以用变量分离求解的微分方程的解的收敛情况进行讨论，发现其解与y部分的原函数有关，当该函数定义域收敛而值域无限时，可以得到该微分方程收敛.

接着是对用常数变易法求解的方程的解的收敛情况进行讨论，得到的结论是该类方程通常不收敛，但对于可以通过变量代换转化为用常数变易法求解的伯努利方程，当n＞1时，伯努利方程的通常具有收敛性，而且该方程的解将会收敛到0.

然后是对恰当微分方程的解的收敛情况的讨论，对于恰当微分方程，对于其通解收敛性的与一个关于x，y的二元函数有关，讨论解的收敛性质时应先将变量分离，然后进行讨论.

最后是对于二阶齐次线性微分方程解的收敛情况进行讨论，总的来说，该类微分方程的通解的收敛情况与特征根的实部有关，当特征根的实部小于零时，原方程的通解在趋于正无穷时收敛到0，当特征根的实部大于于零时，原方程的通解在趋于负无穷时收敛到0.

1引言 2

1.1常微分方程 2

1.1.1微分方程的定义 2

1.1.2常微分方程的解的研究历程 2

1.2本文研究成果 2

2可用变量分离求解的微分方程 3

2.1变量分离 3

2.2变量分离求解的方程解的收敛性 3

2.3可用变量分离法求解的方程 4

2.3.1齐次微分方程 4

2.3.2其他可用变量变换求解的方程 7

3可用常数变易法求解的微分方程 9

3.1常数变易法 9

3.2实例探究 9

3.3伯努利方程 11

4积分因子法求解的微分方程 13

4.1积分因子法 13

4.1.1恰当微分方程与积分因子 13

4.1.2积分因子的求法 14

4.2实例探究 14

5二阶线性微分方程 16

5.1 n阶线性微分方程 16

5.2 二阶齐次线性微分方程 16

5.2.1特征根是单根的情况（即有两个不同的特征根） 17

5.2.2特征根有重根的情况（即有两个相同的特征根） 18

6总结 18

7 参考文献 19