摘  要

    

微分方程在现代数学中占领重要地位，在研究其他学科和领域时都起着至关重要的作用.微分方程与数学应用密切相关，自然界、社会界都隐藏着大量的微分方程模型.而在我们学习线性代数时就已经知道矩阵是其中的一个重要研究对象,在数学研讨和运用时也是一个重要的转换工具，因此它的应用在数学界甚至其他领域是相当广泛的.本文将从微分方程和矩阵的相关定义及发展历史入手，通过查阅相应的期刊文献，结合具体实例对矩阵在微分方程中的应用进行整理归纳，对相应文献中的相关应用进一步的分析，并运用矩阵研究总结线性自治系统中的奇点稳定性问题.    

 

 

 

目    录

 

 

 

 

 

一、 引言 3

二、 预备知识 3

（一） 基本概念 3

1. 微分方程基本概念 3

2. 矩阵基本概念 4

（二） 微分方程发展历史 5

三、 常系数线性微分方程组 5

（一） 常系数齐次线性微分方程组 5

1. 矩阵指数与基解矩阵 5

2. 待定系数法 7

3. 消元法 9

（二） 常系数非齐次线性微分方程组 14

1. 常数变易法 14

2. 待定系数法 15

四、 平面自治系统的奇点 16

（一） 基本概念及基本定理 16

1. 基本概念 16

2. 基本定理 17

（二） 线性系统的奇点及其稳定性分析 17

1. 特征根为同号相异实根时的奇点及轨线 18

2. 特征根为异号实根时的奇点及轨线 19

3. 特征根为重实根时的奇点及轨线 19

4. 特征根为共轭复根时的奇点及轨线 20

（三） 非线性系统的平衡点及其稳定性 22

五、 总结 23

参考文献 24

致谢 25