摘  要

在数学的众多学科之中，代数是一个重要的分支，而在代数研究领域，近世代数的重要性不言而喻，并且逐渐在物理学科、计算机安全方面等其他领域中产生了广泛应用。在其他学科的发展当中，许多都受到了近世代数中的研究方法的影响，并应用了其一系列重要观点。而在近世代数学习中，许多结论的成立离不开素数这一前提条件。素数自身有着简单的性质，但也正因为其性质的简单，为它在数学领域中广泛的应用增添了神秘的色彩。本文主要内容是对素数的相关概念和基本性质，以及近世代数当中在群、环、域中以素数为条件的相关结论和应用的整理和探究，可以对以后学者在这方面数学内容的学习有所帮助。同时联系实际生活，简单介绍了素数的在不同应用领域的运用，并联系专业特征，总结剖析了素数在中学数学中的应用技巧，为后续数学研究和教育教学工作提供一定的系统的理论基础。

目 录

第一章 前言 3

一、 选题背景及研究意义 3

二、 国内外研究现状综述 3

三、 本文所做的工作 3

第二章 素数的基本性质和相关结论及应用的数学基础 4

一、 素数和合数 4

二、 素数的相关定理和结论 4

第三章 在近世代数中与素数有关的重点结论 6

一、 素数在群中的重要定理和结论 6

二、 素数在环中的相关结论 10

三、 素数在域中的相关结论 12

第四章 素数的简单应用 13

一、 素数与著名的数学难题 13

1． 哥德巴赫猜想 13

2． 孪生素数猜想 13

3． 梅森素数 14

二、 素数在实际生活中的应用领域 14

三、 素数在中学数学中的应用 15

第五章 总结 19

参考文献 20

致谢 21