摘  要

在数学中经常会需要计算一些实积分，比如在无穷区间上的积分，这些实函数的积分需要用到特殊的积分才可以求解，对于一些积分而言，难以完成对其求解过程，原因是在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示。通过对本文的探索将会发现，我们可以先将这些实积分进行转换，使其变成复变函数的围线积分，接下来再充分发挥留数定理的作用，使积分的求解更加简单化，就可以科学有效地计算某些类型的积分。

本文对留数理论的相关定义、留数的求解方法与相关应用等进行了研究，在留数的应用上，主要给出了用留数定理计算某些类型的有限积分及无穷积分，计算积分路径上有奇点的积分，计算物理学中常用的实积分等等。总体来说，用留数计算实积分主要是分清类型、验证条件、确定孤立奇点及类型。

　　

关键词： 留数；留数定理；实积分；围线积分

　目  录

中文摘要 I

英文摘要 II

1.绪论 1

1.1课题的目的和意义 1

1.1.1课题的目的 1

1.1.2课题的意义 1

1.2文献综述 1

1.3本领域存在的问题 2

1.4本课题主要研究内容 2

2.留数相关理论 3

2.1 留数理论 3

2.1.1留数定义 3

2.1.2留数定理 3

2.1.3留数的求法 3

2.2无穷远点的留数 4

2.2.1定义 4

2.2.2定理 5

2.2.3无穷远点的留数计算 5

3. 留数的应用—用留数定理计算实积分 6

3.1形如的积分 6

3.2形如的积分 7

3.3形如的积分 9

3.4计算积分路径上有奇点的积分 11

3.5在物理学中的实积分计算 12

结 论 15

参考文献 16