摘  要

近几年，有关函数凹凸性的问题越来越频繁的出现在高等试题中，它的应用占有非常重要的地位。虽然在初等数学的教材中没有对其明确的定义，但在习题考试及高等数学中经常运用到该类知识点。运用凹凸函数定义性质解决一些数学问题时，需要学生具备较强的能力素质，包括抽象思维能力、解决实际问题能力等，所以对学生来说，凹凸函数这方面的知识一直都是一个难点，因此研究凹凸函数解决问题就显得很有必要。而凹凸函数中，函数的凹凸性这个几何性质是非常重要的，它是证明比较复杂不等式和构造不等式中一个非常有力的工具，因此这类题能考查学生的创新能力和数学的潜在素质。本文给出了函数凹凸性的定义特性，还给出了凹凸函数在证明一些不等式的具体案例，进一步帮助学生灵活运用函数凹凸性来解决不等式或一些其他问题。

 

关键词：凹凸函数；不等式；函数性质；证明

目  录

 

摘  要 I

Abstract II

1绪  论 1

1.1课题的研究背景 1

1.2课题的研究目的和意义 1

1.3文献综述 1

1.4研究的主要内容 2

2凹凸函数的定理性质 3

2.1凹凸函数的定义及几何特征 3

2.1.1凹凸函数的定义 3

2.1.2凹凸函数的几何特征 4

2.2 凹凸函数的性质 5

3凸函数在不等式证明中的应用 6

3.1凸函数在詹森不等式证明中的应用举例 6

3.2 凸函数在积分不等式证明中的应用举例 7

3.3 凸函数在求最值问题中的应用举例 8

3.4凸函数在高斯不等式证明中的应用举例 10

3.5 凸函数在三角不等式证明中的应用举例 11

4凹函数在不等式证明中的应用 13

4.1 凹函数在杨氏不等式证明中的应用举例 13

4.2 凹函数在均值不等式证明中的应用举例 14

4.3 凹函数在三角不等式证明中的应用举例 15

总  结 16

参考文献 17

谢  辞 18