摘要

众所周知，极限思想是近代数学的一种重要思想，是微积分的基础，是我们数学专业学生知识结构中不可或缺的组成部分。在数学分析中，极限交换也是一个极其重要的概念。在古典《数学分析》中，一致收敛是极限运算与其它运算交换次序的重要条件。

对于黎曼积分与极限运算交换次序的问题，我们要保证积分号与极限号可交换即等式成立，通常需要“函数列在区间上一致收敛于函数”这一条件来保证极限函数的可积性。但是在实际应用中这一充分条件是很难被验证的。因此一致收敛性在极限和积分可交换问题中究竟起着什么样的作用，这一条件能否减弱甚至被一个方便实用的其它条件替代，这些都是值得讨论的问题。在之前的学者们的研究中已经找到了一些减弱的条件，如：函数列在区间上局部一致收敛即函数列在区间的每个闭子区间上一致收敛。本文对他们的研究成果进行分析总结，找到了积分号与极限号交换次序的关键是使等式成立，在此基础上我们对函数进行讨论，得到了一个极限与积分交换次序的新条件。

对于极限运算和求导运算交换次序的问题，我们要保证极限与求导可交换即等式成立，通常需要“导函数列在区间上一致收敛”这一条件来保证极限函数的可导性，同样地，在实际应用中这一充分条件也很难验证。因此，能否找到减弱的条件使极限运算和求导运算可以交换次序这也是我们需要讨论的问题。

对于二元函数累次极限交换顺序的问题，我们要保证两个二次极限相等即等式成立，通常有两种方法：第一是保证二元函数的重极限存在，第二是利用“对任意的，存在，并且关于一致收敛”这一条件来保证两个二次极限的存在性，进而得到两个二次极限相等。相比第二种方法，先判定二重极限的存在性更容易。但是二重极限的存在性只是二次极限顺序可交换的一个充分条件而非必要条件，因此，当二重极限不存在时，除一致收敛外是否存在其它条件可以保证二次极限的可交换性，这也是值得我们讨论的问题。

关键词：黎曼积分；极限；求导运算；累次极限；可交换性；一致收敛；连续性；可积性；等度可导

目录

引言 1

第一章 对积分运算和极限运算可交换问题的讨论 2

第二章 对求导运算和极限运算可交换问题的讨论 11

第三章 对累次极限交换问题的讨论 14

第四章 问题展望 17

参考文献 19

致谢 20